[TD] questions d'héridité pour Charles

Voilà Charles, les deux questions d'hérédité qui te posent problème dans le TD.

Exercice II, 2 :

Supposons qu'il existe un naturel k>= 3 tel que P(k) soit vraie.
Démontrons alors que P(k+1) est vraie.

Pour cela, on part de l'hypothèse de récurrence et on la détaille :
2^k > 2k
2^k x 2 > 4k
2^(k+1) > 4k

Arrivé là, reste à savoir si 4k >= 2(k+1)
Et bien, si c'est le cas : 4k >= 2(k+1)
4k > 2k + 2
2k > 2
k > 1
Et ça ça tombe bien, c'est toujours vrai, puisqu'on sait que k est supérieur ou égal à 3 (le naturel qu'on choisit pour étudier P(k) est toujours supérieur ou égal à n0).
On en conclue qu'effectivement : 2^(k+1) > 2(k+1)
Voilà, P(k+1) est vraie, l'hérédité est prouvée.

Exercice IV, 2) :

Supposons qu'il existe un naturel k tel que P(k) soit vraie, c'est à dire : uk = (k+1)².
Démontrons alors que P(k+1) est vraie, c'est à dire : uk+1 = ((k+1)+1)² = (k+2)²
uk+1 = uk + 2k + 3
on introduit l'hypothèse de récurrence : uk+1 = (k+1)² + 2k + 3
Simple identité remarquable pour développer : uk+1 = k² + 2k + 1 + 2k + 3 = k² + 4k + 4
A nouveau identité remarquable pour factoriser : uk+1 = (k+2)²

Voilà, P(k+1) est vraie, l'hérédité est prouvée.

merci momo !!!!