DM de math pour le 16 novembre

J'ai une problème pour la question 4, j'ai fait les limites mais je me suis rendu compte qu'on les demandai après donc c'est pas la bonne méthode, je vois pas comment faire autrement...

Ah ça rassure de savoir que je suis pas le seul !! ^^

Moi aussi je suis preneur de la solution !!

Salut,

non effectivement, la méthode des limites n'est pas la bonne, comme t'as pu le remarquer.

Démontrer que pour tout réel t de [0; +infini[, on a 0 < f(t) < 20

C'est vrai que qu'en montrant que la fonction est strictement croissante et que sa limite en +infini est 20 et en 0 est 0, ça pourrait marcher. Seulement, tout ça, on nous demande de le prouver par la suite. Donc, il faut chercher une autre méthode. Et pas la chercher bien loin...

Qu'est ce qu'on nous demande de démontrer, en fait ? Des inéquations, ni plus ni moins.

Alors, on va premièrement s'occuper de l'inéquation 0 < f(t) :

On s'y prend de cette manière :

f(t)>0 si et seulement si 20/(1 + 1999e^-0.44t) > 0

Pour qu'un quotient soit supérieur à 0, il faut et il suffit que le numérateur ET le dénominateur soient de même signe.

Or, 20>0, c'est une évidence. Donc on est ok pour le numérateur, c'est positif.
e^-0.44t > 0 pour tout t de (0;+infini( car la fonction exp est strictement croissante sur cet intervalle.
1999e^-0.44t > 0, normal...
1999e^-0.44t + 1 > 1 > 0
Ainsi, 20>0 ET 1999e^-0.44t + 1> 0,

DONC 20/(1 + 1999e^-0.44t) > 0 pour tout t de (0;+infini(

Et maintenant, l'inéquation f(t) < 20 :

f(t) < 20 si et seulement si 20/(1 + 1999e^-0.44t) < 20
Or, e^-0.44t > 0, pour tout t de (0;+infini( car la fonction exp est strictement croissante sur cet intervalle.
1999e^-0.44t > 0, normal...
1999e^-0.44t + 1 > 1 > 0
Donc, 1/(1999e^-0.44t + 1) < 1, car on peut inverser chaque membre, grâce à une propriété des inéquations : si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b, et réciproquement.
Et enfin, 20/(1999e^-0.44t + 1) < 20, car on multiplie de chaque côté par 20.

DONC, 20/(1999e^-0.44t + 1) < 20 pour tout t de (0;+infini(

BILAN : 0 < f(t) < 20 pour tout t de [0; +infini[.

Notez qu'il y a plusieurs manières de résoudre de mêmes inéquations. D'ailleurs, à chaque fois que j'ai expliqué cette méthode à quelqu'un, je l'ai fais différemment...

Parfait : )

"Artiste éternelle" la pub.

Edit MomO : what else ? => J'ai serré sur le coup. D'ailleurs, je ne sais pas pourquoi.

.... Bon, heu, en tout cas merci MoMo, j'ai compris ton raisonnement, et il ne me reste plus que la fin de l'exo.

ok je vois tout compris merci beaucoup!!


Edit MomO : Y'a pas de quoi