Exercice 3 du TD

f(x) = (x^3) / (x² + 3x + 3)

a) Calculer les limites de f en +oo et - oo.
Pas de difficultés ici, il suffit d'appliquer le théorème :
La limite en +oo ou - oo d'une fonction rationnelle est égale à celle en +oo ou - oo du quotient de ses termes de plus haut degré.
Pensez à la préciser ! Sans quoi en contrôle (ou à l'oral) vous perdrez des points (ça fait partie de la liste des 500 détails inutiles et pénalisables de Mrs Lecacheux)

lim (x -> +oo) f(x) = lim x^3 / x^2 = lim x = +oo
De même, on trouvera facilement que la limite de f(x) en - oo est -oo.

b) Déterminer f'(x) et démontrer que f(x) est croissante sur R. En d'autres termes, il faut étudier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f(x).
C'est probablement la question qui posera problème au plus grand nombre d'entre vous. Du moins je sais qu'elle a fait buté quelques uns, et moi-même pendant un bon petit moment, avant que je ne rendisse (petit freestyle de concordance des temps) compte que le calcul de f'(x) n'était pas vraiment plus compliqué que d'habitude. Car en réalité, il n'y a pas besoin de le pousser trop loin pour pouvoir ensuite déterminer son signe...

Petit rappel de propriété pour la dérivation d'un quotient de fonctions :
(u/v)' = (u'v - uv') / v². (faut le savoir par coeur)
Dans le cas présent, on a :
u(x) = x^3 ; u'(x) = 3x² (ça aussi c'est à connaître absolument)
v(x) = x² + 3x + 3 ; v'(x) = 2x + 3

Bien, une fois cela fait, on applique la formule :
f'(x) = (3x²(x² + 3x + 3) - x^3(2x + 3)) / (x² + 3x + 3)²
Et là, Attention, calcul chiant !
f'(x) = (3x^4 + 9x^3 + 9x² - 2x^4 - 3x^3) / (x² + 3x + 3)²
Ouais, à ce moment là, on commence à se dire "WTF ??"
f'(x) = (x^4 + 6x^3 + 9x²) / (x² + 3x + 3)²
Vous pouvez le dire : c'est une putain de dérivée de merde...mais on est pas des SI pour rien, alors on continue...
Au numérateur on a un sale tétranôme du quatrième degré (ou un truc comme ça), et c'est pas top. C'est pour ça qu'on va factoriser par x² pour se ramener à un trinôme.
f'(x) = x²(x² + 6x + 9) / (x² + 3x + 3)²

STOP !!!
Pas besoin d'aller plus loin, la dérivée est suffisamment développée, on peut d'ores et déjà étudier son signe.
Il s'agit à la fois du signe d'un produit et du signe d'un quotient...
A noter : le signe du quotient de a/b est identique à celui du produit de a*b.
Donc on peut considérer l'ensemble comme un produit (ce n'est pas un produit, mais ça en a le signe). On étudie alors le signe de :
x² * (x² + 6x + 9) * (x² + 3x + 3)²
On étudie successivement le signe de chaque facteur, comme on sait si bien le faire :
x² >= 0 sur R car c'est un carré...
(x² + 3x + 3)² >= 0 sur R car c'est un carré... oui, mais ça suffit pas ! Car il ne faut pas oublier que réellement, ce facteur est en fait un dénominateur, et ne peut pas avoir pour valeur 0. Il faut donc étudier le trinôme x² + 3x + 3 pour trouver ses racines (les valeurs qui l'annule) : D = b² - 4ac = 3² - 4*3 = 9 - 12 = -3.
Delta négatif ? ça veut dire que le trinôme n'a pas de racine ! Donc, pas de valeur interdite pour f'(x)
(x² + 3x + 3)² > 0 sur R
(x² + 6x + 9) ? Trinôme, donc on pose D = b² - 4ac = 6² - 4*9 = 0.
Delta nul ? ça veut dire que le trinôme n'a qu'une seule racine : x = -b/2a = -6/2 = -3. Etant donné qu'il est du signe de a à l'extérieur des racines,
(x² + 6x + 9) >= 0 sur R.

Je vous laisse placer tout ça dans un tableau de signe...
Vous allez logiquement trouver que f'(x) > 0 sur R.
Ce qui se traduit de la sorte : f(x) est strictement croissante sur R !!

ça c'est fait....

c) Démontrer que y = x-3 est asymptote à C en +oo et - oo.

Il va falloir pour cela étudier la limite de la différence entre f(x) et x-3 en +oo et- oo. Si cette limite tend vers 0, l'existence de l'asymptote sera prouvée.

f(x) - (x-3) = ((x^3) / (x² + 3x + 3)) - (x-3)
f(x) - (x-3) = ((x^3) - (x-3)(x² + 3x + 3)) / (x² + 3x + 3)
f(x) - (x-3) = ((x^3) - (x^3 + 3x^2 + 3x - 3x^2 - 6x - 9) / (x² + 3x + 3)
f(x) - (x-3) = ((x^3) - (x^3 - 3x - 9) / (x² + 3x + 3)
f(x) - (x-3) = (3x + 9) / (x² + 3x + 3)

Il faut donc étudier la limite de ce quotient : (6x + 9) / (x² + 3x + 3)
Pour cela, on applique encore une fois le théorème :
La limite en +oo ou - oo d'une fonction rationnelle est égale à celle en +oo ou - oo du quotient de ses termes de plus haut degré.
Ainsi, en +oo :
lim f(x) - (x-3) = lim (3x + 9) / (x² + 3x + 3) = lim 3x / x² = lim 3 / x = 0.
Et en - oo :
lim f(x) - (x-3) = lim (3x + 9) / (x² + 3x + 3) = lim 3x / x² = lim 3 / x = 0.

Conclusion : la droite d'équation y = x - 3 est bien une asymptote à la courbe C en +oo et en - oo.


d) Étudier la position de C par rapport à D.

Désolé de ne pas l'avoir postée avant. Mais je pense que celle-là ne pose pas de problème particulier.
Cette question n'est pas difficile, il suffit de déterminer le signe de D(x), à savoir de (3x + 9) / (x² + 3x + 3).
3x + 9 >= 0 si 3x >= -9, x >= -3
x² + 3x + 3 > 0 sur R, comme nous l'avons vu précedemment.
De là (avec un tableau de signe), on déduit que D(x) > 0 sur ]-3; +oo[, D(x) < 0 sur ]-oo; -3[, et enfin que D(x) = 0 pour x = -3. Ce qui se traduit graphiquement de la sorte :
- C est au dessus de D sur ]-3; +oo[
- C est au dessous de D sur ]-oo; -3[
- C et D se coupe en le point (-3 ; -6)

Que dire à part, et comme d'habitude , un Grand merci à toi maitre MOMO pour ce corrigé très détaillé, j'espère qu'il servira à pas mal de monde et qu'ils n'oublieront pas de te remercier comme il se doit.

Merci Romain
En tout cas, c'est Charles qui m'a demandé de le poster et il m'en a remercié, c'est déjà ça

Merci very much momo car j' étais vraiment bloqué a la question b) même si j'avais fait (un peu) le reste et ca, caa me faisait vraiment ch..
Thank you

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